Родился 21 марта 1910 года в селе Сухой Карабулак Базарнокарабулакского (бывшего Куриловского) района Саратовской области. Русский. С 1917 по 1929 годы жил в селе Сокуре Татищевского района, учился в семилетней школе, работал в колхозе. В марте 1932 года, после окончания рабфака при Ленинградском институте инженеров железнодорожного транспорта, по партийной мобилизации был направлен на учебу в Ульяновскую бронетанковую школу имени В.И. Ленина. В 1934 году получил звание среднего командира и много лет подряд служил в Забайкальском военном округе, занимая должности командира танка, танкового взвода и роты. За высокие показатели в боевой и политической подготовке имел 18 благодарностей и денежную награду от командования.
С 11 мая по 16 сентября 1939 года в районе реки Халхин-Гол принимал участие в боях против японских захватчиков, посягнувших на свободу и независимость дружественной нам Монгольской Народной Республики. За отличия в боях был награждён орденом Ленина.
Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 162) старшему лейтенанту Босову Алексею Петровичу присвоено 17 ноября 1939 года за твёрдое и мужественное командование ротой и личный героизм, проявленный в ходе Халхингольской наступательной операции.
Великая Отечественная война застала капитана А.П. Босова в стенах Военной академии бронетанковых войск. Но когда враг подошёл к Москве, Босов попросился на фронт. Его назначили командиром батальона тяжелых танков «КВ» и послали на один из самых ответственных и опасных участков Западного фронта — Волоколамское направление. Вместе с легендарными панфиловцами Босов А.П. отбивал яростные атаки фашистов. 18 ноября 1941 года в районе села Малые Городищи герой погиб, уничтожив в этот день огнем из пушки и таранным ударом восемь вражеских танков и один самолёт.
Герой Советского Союза, капитан Босов А.П. с воинскими почестями был похоронен в городе Истра Московской области. На его могиле установлен памятник.
Награждён 3-я орденами Ленина.
Именем Героя названы улицы в городах Саратове и Истре.